不思議な数

不思議な数

魔法の数字

数の個性

普段何気なく使っている自然数ですが、個々の自然数は個性を持っています。
例えば6と言う数は簡単に思い付くのは2の倍数であり、3の倍数でもあります。倍数であると言うことは23が約数であると言えます。
また当たり前かも知れませんが1も約数です。厳密に言うなら6自身も約数ですが、これはどの自然数においても成り立ちますので除外するのが慣例です。

完全数

そうすると6の約数は1, 2, 3が真の約数となりますが、1 + 2 + 3 = 6と言う式が成り立ちます。
このように、真の約数の和が自分自身に等しくなる数の事を完全数と呼びます。
完全数は非常に稀な数です。6の次の完全数は28で、その次は496、その次は何と8128です。

完全数が最初に文献として残っているのは紀元前3世紀のユークリッドの著作である原論の第6巻・命題36で2^n - 1が素数ならば2^{(n-1)} (2^n -1)が完全数となることを証明しました。また偶数の完全数は必ずこの形をしている事もわかっていましたが、このことの証明は18世紀のオイラーまで待たなければなりませんでした。

ですが、奇数の完全数があるか否かは未知です。先ほどの2^n - 1が素数ならば2^{(n-1)} (2^n -1)が完全数となると言う事実とオイラーによる証明はありますが、それはあくまでも現時点で知られている完全数がすべてこの形であるというだけです。
スーパーコンピュータを用いて想像を絶する桁まで計算しても奇数の完全数は見つかっていません。ですが重要なのは奇数の完全数の存在を否定する理論や証明が一切無いと言うことです。これは即ち現時点では奇数の完全数の存在を否定することはできないと言うことです。

素数性

6を2つの数の積で6 = abと表すと必ずa + bは素数になります。6 = 1 \times 6 = 2 \times 3ですが、1 + 6 = 7, \, 2 + 3 = 5となり5,\,7共に素数です。
なぜ6がこのような性質を持っているかを説明する理論はまだ見つかっていません。

友愛数

あまり聞いたことは無いと思います。それだけ珍しい数です。
a,\,bと言う2つの数があった時にaの約数の和がbになり且つbの約数の和がaになるような2つの数を友愛数と呼びます。

この友愛数は本当に稀…と言うか稀少と言う方が正しいかも知れません。
古代において数学が発展するきっかけになった人物は古代ギリシャの哲学者タレスだと言われています。タレスは哲学者ですが、中学校で習う「半円に内接する角は直角である。」と言うタレスの定理を考案しています。
また著名な数学者・哲学者であるピタゴラスを忘れる訳にはいきません。ピタゴラスを中心としたピタゴラス教団は現代までに伝わる数々の数学的な定理を発見してきました。最も著名なのはピタゴラスの定理でしょう。
また名を記されてはいませんが、ピタゴラス教団の1人が無理数を発見しています。他にも古代ギリシャや古代ローマには多数の、そして現代にまで通用する数学的定理を多数発見していました。
ピタゴラスの思想は万物は数学によって支配されていると言うもので、当時としては異端でしたが、現代では宇宙のように大規模なものから量子論までを含めて自然科学では数学を用いなければ説明できないのです。
そのピタゴラスが愛したのが当時唯一知られていた友愛数である220,\,284の組です。

2組目の友愛数が見つかったのは1636年のことです、発見者は数論の父と呼ばれるフェルマーです。フェルマーの最終定理で著名ですね。そのペアは17296,\,18416です。3組目の友愛数は1638年に「我思う、故に我あり」で有名な哲学者・数学者であるデカルトによるもので、9363584,\,9437056です。
古代ギリシャから17世紀にかけて3つしか見つからなかった友愛数ですが、その後1747年から1750年にかけて59組ものペアを見つけた天才がいます。数学者にして天文学者のオイラーです。

他にも…

ちょっとオカルト風味が入りますが、魔方陣もとても不思議な性質を持った数です。面白いので説明したいのですが、ちょっと脱線し過ぎましたので次回からは少し現代数学の根幹を成す様々な数の概念について説明を数回続けます。
最初は自然数から始めましょう。

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